welcome

WELCOME TO aqibmathic.blogspot.com

Senin, 30 Januari 2012

Pembuktian dalam matematika

Membuktikan sebuah aturan (teorema) dalam matematika sering menjadi tantangan tersendiri.   Tetapi seringkali pembuktian yang diberikan itu tidak sesuai aturan yang telah berlaku.
Berikut, Anda diminta untuk membuktikan bahwa satu sama dengan dua. Setengah memaksakan diri, Anda melakukan pembuktiannya sebagai berikut.
Teorema:
1 = 2 Pembuktian:
  • Langkah 1 Misalkan a = b
  • Langkah 2 Maka a^2 = ab
  • Langkah 3 a^2 + a^2 = a^2
 + ab
  • Langkah 4 2 a^2 = a^2 + ab
  • Langkah 5 2 a^2 - 2ab = 
a^2 + ab - 2ab
  • Langkah 6 2 a^2 - 
2ab = a^2 - ab
  • Langkah 7 2 (a^2 - ab) = 1(a^2 - 
ab)
  • Langkah 8 Sehingga diperoleh 2 = 1 atau 1 = 2 ……………….. Terbukti
Apakah Anda melihat ada yang aneh dengan pembuktian di atas? Sekilas mungkin Anda akan melihat bahwa tidak ada yang salah dengan pembuktian di atas. Sebenarnya satu dari delapan langkah pembuktian teorema di atas ada yang keliru.
Sekarang kita cek satu persatu langkah-langkah pembuktian di atas.
Langkah 1 Merupakan asumsi awal yang kita gunakan. Maksudnya kita misalkan a itu mewakili sebuah bilangan yang sama dengan b (bilangan lainnya). Mungkin sedikit terasa aneh ketika digunakan dua simbol berbeda untuk menunjukkan bilangan yang sama, tapi secara matematika hal ini adalah sah.
Langkah 2 Kedua ruas dikalikan a. Jika dua bilangan adalah sama, maka ketika kedua bilangan itu dikalikan dengan sebuah bilangan yang sama, hasilnya juga akan sama. Jadi langkah kedua benar.
langkah 3 Kedua ruas ditambah a^2 . Serupa dengan langkah 2, jika dua bilangan sama, maka ketika keduanya ditambahkan dengan sebuah bilangan maka  hasilnya akan sama. Langkah ini banar.
Langkah 4 Merupakan penyederhanaan dari langkah 3 di atas, bahwa a^2 + a^2 = 2 a^2 .
Langkah 5 Kedua ruas dikurangi ab. Serupa dengan langkah 2 dan 3, jika dua bilangan yang sama keduanya dikurangi dengan bilangan yang sama, maka hasilnya juga akan sama. Jadi langkah ini benar juga.
Langkah 6 Merupakan penyederhanaan dari langkah 5, bahwa a^2 - ab = a^2 + ab - 2ab .
Langkah 7 Menggunakan sifat distributif . Biasa diistilahkan distributif  kiri untuk kasus di sini.   faktorkan 2 di ruas kiri, dan 1 di ruas kanan. Langkah ini tepat, bisa diterima.
Langkah 8 Untuk “menghilangkan” bilangan dari kedua ruas, bisa dilakukan dengan cara membagi dengan bilangan yang sama. Untuk kasus ini, kita membagi kedua ruas dengan a^2 - ab . Agar hal ini bisa dilakukan, maka si pembagi (a^2 - ab ) haruslah sebuah bilangan yang bukan nol.
Karena di awal kita misalkan a =
 b mengakibatkan a^2 - ab = 0 , sehingga membagi kedua ruas dengan a^2 - ab tidak bisa dilakukan. Jadi langkah ini keliru.

Matematika untuk hiburan

Seseorang menaruh sepasang kelinci yang semua sisinya dibatasi dinding. Berapa banyak pasang kelinci dapat dihasilkan dari pasangan tersebut dalam setahun jika diandaikan setiap bulan tiap pasangan beranak satu pasangan baru yang mulai produktif pada bulan ke dua dan seterusnya.

Tahukah Anda, permasalahan kelinci di atas telah mengilhami Fibonacci dalam menemukan “Deret Fibonacci” yang terkenal itu?
Leonardo Pisa alias Fibonacci lahir pada tahun 1175 M. Ia berperan penting dalam memperkenalkan angka India ke Eropa dari orang Arab selama kunjungannya ke Afrika. Fibonacci menjadi terkenal dengan penemuannya itu.
Berikut adalah teka-teki klasik yang pernah ada. Walaupun tergolong klasik, tetapi tetap menantang untuk dikerjakan. Kalaupun hanya untuk hiburan, bisa untuk menenangkan pikiran.
Seorang pria yang telah wafat, meninggalkan 17 ekor kuda untuk dibagikan kepada ahli warisnya dengan perbandingan 1/2: 1/3: 1/9. Bagimana hal itu dapat dilaksanakan?
Saya ingat betul, sewaktu SMP dulu guru saya pernah memberikan teka-teki ini, dan saya tidak bisa menjawabnya.
Di Eropa pada akhir abad ke-8, masalah menyeberangi sungai muncul pertama kali ke permukaan. Ditulis oleh Alcuin, seorang sarjana inggris, yang mencatat sebagai berikut:
Seseorang harus membawa seekor serigala, kambing, dan seikat kubis menyeberangi sebuah sungai. Satu-satunya perahu yang dapat ia temukan hanya dapat membawa dua dari antara mereka dalam sekali jalan. Tetapi ia diperintahkan untuk membawa semuanya ke seberang dalam kondisi baik. Bagaimana hal itu dapat dilakukan?
Ada juga teka-teki siput yang dikenal mula-mula di daerah Latin.
Seekor lintah mengundang seekor siput untuk pergi makan siang sejauh satu leuca (1 leuca=90.000 inchi). Tetapi ia hanya dapat berjalan satu inchi per hari. Berapa hari yang ia perlukan untuk berjalan mencari makan siangnya di rumah lintah?
Kelahiran yang sesungguhnya dari matematika, termasuk matematika untuk hiburan, mungkin dimulai sekitar 10.000 tahun yang lalu dengan lahirnya revolusi pertanian di lembah sungai mesopotamia. Dengan perkembangan kebudayaan pertanian, muncul maslah baru yang memerlukan ramalan musim yang akurat dan teknik penelitian yang lebih baik. Hal ini memberi peningkatan terhadap perkembangan penelitian stronomi dan geometri. Meski tidak dikenal contoh pmikiran matematis pada periode ini, ada bukti munculnya sistem menghitung yang dapat diandalkan. Sekitar 8000 SM, di Timur Dekat dan Timur Tengah terdapat alat mengitung yang menggunakan prinsip sipoa.
Di zaman Neolotik, dijumpai perkembangan matematika dalam bentuk bilangan tertulis. Contoh yang dikenal paling awal adalah tongkat kebesaran untuk upacara dari Raja Mesir, Menes, yang hidup sekitar 3000 SM. Satu tongkat kebesaran menuntut penangkapan 400.000 lembu jantan, 1.422.000 kambing, dan 120.000 tawanan, dicatat dalam bentuk angka berkode dan binatang yang digambarkan .Ttidak diceritakan apakah Menes menderita insomnia ataukah tidak, tapi kalau pun ya, mungkin keahlian menghitung-nya lah yang mengobatinya :) .
Periode Babilonia Kuno menghasilkan beberapa pemikiran aljabar. Kaum Babilonia menggunakan pena khusus (stylus) untuk menekan naskan yang berisi tulisan kuno mereka (berbentuk biji) ke dalam tablet (lembaran berisi tulisan) dari tanah liat halus, yang kemudian dijemur di bawah matahari untuk mengeringkannya. Tablet semacam itu, yang dikenal sebagai YBC 6967 memberi contoh awal pemecahan persamaan kuadrat.